托勒密定理

托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
如图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对
对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，
即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

证明：
如上图所示。不妨设∠ACB大于∠ACD（其实也无所谓，见上图图（1），先不用管它）。
于是，在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD。
又由于∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），所以三角形ACD与BCE相似。
于是有AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE（称为1式）。
同理，如上图图（2）所示，三角形CDE与ABC相似。
从而有CD : AC = DE : AB，即AB·CD=AC·DE（称为2式）。
1式加上2式，即得AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD。
即AC·BD=AB·CD+AD·BC