八上几何压轴题：例说SSA困境下的HL破局

八上几何压轴题：例说SSA困境下的HL破局

许海兵（武汉TOP学案网创始人）

同学们都知道SSA（边边角）不能作为我们判断三角形全等的依据，至少在常规考试的时候是这样的，当然也不是完全不能用，关于这方面的知识拓展延伸，大家可以自行查阅相关学科竞赛类资料。但考试的时候，我们偏偏就会遇到找全等条件的时候，只有SSA可以利用，其他判定定理一概失效，这个时候我们该怎么办呢？

比如，下面一个几何证明题就是这样的：

例题：（武昌区2019-2020学年度期中考试T24改）

如图，平面直角坐标系下，A(2,0)、B(0,2),点M为线段OA上一点，点N在第一象限，且NA⊥AB，BM=MN,求证：BM⊥MN；

思路1：从结果逆向推理，BM和MN垂直且相等，应该可以构造三垂直模型，尝试一下，然而，除了一个构造的90°直角对应相等，加上已知条件BM=MN，其他全等条件什么也得不到，如下图：

思路2：用“同侧型双直角对角互补模型”解决，构造旋转全等，如下图，这次得到了MA=MC，加上已知条件BM=MN，还有一组135°的角，出现了SSA，再次失败。

思路3：构造如图全等，情况和思路2一样，还是SSA，看来SSA是目前条件下的绕不过去的“坎”。

其实回归课本，我们不难发现，SSA判定定理并非不存在，只是存在于特殊情形下，比如HL就是例子：两个直角三角形，斜边对应相等，一组直角边对应相等，并且斜边的“对角”也对应相等（90°），这两个直角三角形全等。这其实就是SSA，SSA并没有消失，只是以这样的特殊形式存在着。

这样给我们提供一种思路：SSA的困境破解之道在于：把SSA变成HL

于是，就有了思路4：

1、如下图，接思路3，先构造两个等腰直角三角形全等（AAS）,得到BP=MQ

2、再由HL判定定理证明Rt△BPM≌Rt△MQN（HL）

3、再由全等导角，可以证明∠BMN=90°

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